海淀区初三一模几综解析

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海淀区初三一模几综解析

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，D为BC边上一动点，E点在AC边上，CE＝CD，D点关于B点的对称点为F点，连接AD，P为AD中点，连接PE、PF、EF.

（1）如图1，当D点与B点重合时，写出线段PE与PF之间的数量关系与位置关系；

（2）如图2，当D点与B、C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例.

（1）如图1，PF＝PE，PE⊥PF

证明：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC

∵D与B重合，∴CE＝CD＝AC，即E是AC中点

而P为AB中点，则PE＝BC且PE∥BC

∴PF＝PE，PE⊥PF.

（2）如图2，（1）中所得结论成立.

▲方法1：倍长中线＋等边△

证明：连接DE①，延长EP到G点，使得PG＝PE②，连接AG，FG③

∵CD＝CE，∠C＝60°

∴△CDE是等边三角形

∴DE＝CE，∠CED＝60°

∵AP＝PD，∠APG＝∠DPE，PE＝PG

∴△DEP≌△AGP

∴AG＝DE，∠EAG＝∠CED＝60°

∵AC＝2BC，∴AE＝2BC－CE＝CF

∵AG＝CE，∠EAG＝∠C，AE＝CF

∴△AGE≌△CEF

∴EG＝EF，∠GEA＝∠CFE

∴∠FEG＝60°

∴△EFG是等边三角形

∴PF＝PE，PF⊥PE.

①：CE＝CD且∠C＝60°，故连接DE，可得等边△；

②：根据中点P，倍长中线EP；

③：思路是通过等边△EFG说明PE、PF的关系.

▲方法2：中位线＋相似

证明：连接DE，取AE中点G，连接PG①，取EF中点H，连接PH②

∵P是AD中点，G是AE中点

∴PG＝DE，PG∥DE

∴∠PGE＝∠CED＝60°

∵CE＝2PG，∠C＝∠PGE，CF＝2EG

∴△EFC∽△PEG

∴EF＝2EP，∠EFC＝∠PEG

∴∠PEF＝60°

∵EP＝EH，∠PEH＝60°

∴△PEH是等边三角形

而PH＝FH，则∠EFP＝30°

可得△PEF是含30°的直角三角形

则PF＝PE，PF⊥PE.

①根据中点P，构造中位线结构；

②思路是通过Rt△PEF说明PF、PE的关系.

▲方法3：中位线＋全等

证明：延长EC到G点，使得CG＝DF①，连接DG、DE，取EF中点H，连接PH

可知EG＝CF，CF＝AE（前面已证）

即AE＝EG

则PE＝DG，PE∥DG

∵CE＝DE，∠ECF＝∠DEG，CF＝EG

∴△CEF≌△EGD

∴EF＝DG，∠EFC＝∠G

∵DG＝2PE，EF＝2EH，∴EP＝EH

∵∠EFC＝∠AEP，∴∠PEH＝60°

∴△PEH是等边三角形

而PH＝FH，则∠EFP＝30°

可得△PEF是直角三角形

则PF＝PE，PF⊥PE.

①：根据中点P，构造中位线PE.

总结：思路是将PF、PE放在等边△或Rt△中.

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